Kristo Väljako kaitseb doktoritööd „On the Morita equivalence of idempotent rings and monomorphisms of firm bimodules“

26. augustil kell 11.00 kaitseb Kristo Väljako doktoritööd „On the Morita equivalence of idempotent rings and monomorphisms of firm bimodules“ („Idempotentsete ringide Morita ekvivalentsusest ja püsivate bimoodulite monomorfismidest“) filosoofiadoktori (matemaatika) kraadi saamiseks. 

Juhendaja:
professor Valdis Laan, Tartu Ülikool

Oponendid:
professor Mark Lawson, Heriot-Watti Ülikool (Ühendkuningriik)
professor Laiachi El Kaoutit, Granada Ülikool (Hispaania)

Kokkuvõte
Ühikelemendiga ringide Morita ekvivalentsuse mõiste tekkis 1958 aasta Kiiti Morita murrangulisest artiklist. Ta kirjeldas olukorra kui kahe ühikelemendiga ringi moodulite kategooriad on ekvivalentsed. Hiljem hakati sellist olukorda kutsuma nende ringide Morita ekvivalentsuseks. Sellest lähtuv Morita teooria on näidanud ennast olevat väga kasulik ühikelemendiga ringide teooria arengus.

Oma doktoritöös uurin ma idempotentsete ringide Morita ekvivalentsust kasutades erinevaid algebralisi konstruktsioone. Ringi nimetatakse idempotentseks, kui iga tema element on esitatav mingite elementide korrutiste summana. Idempotentsed ringid on ühikelemendiga ringide üldistus. Täpsemalt uurin ma Reesi-maatriksringide ja tensorkorrutisringide konstruktsioone üle idempotentsete ringide. Ma tõestan, et idempotentne Reesi-maatriksring on Morita ekvivalentne oma alusringiga ja iga pseudo-sürjektiivselt defineeritud tensorkorrutisring on üle idempotentse ringi on selle ringiga Morita ekvivalentne. Lisaks defineerin ja uurin ma idempotentsete ringide laiendeid. Konkreetselt tõestan, et kaks idempotentset ringi on Morita ekvivalentsed parajasti siis, kui neil leidub ühine laiend. Seejärel uurin ma Morita ekvivalentsete ringide unitaarseid ideaale. Ma näitan, et mingi ringi unitaarsete ideaalide hulk moodustab kvantaali. Tõestan, et kahe Morita ekvivalentse ringi unitaarsete ideaalide kvantaalid on isomorfsed. Lisaks uurin püsivate bimoodulite kategooriat üle idempotentsete ringide ja eriti monomorfisme selles kategoorias. Ma näitan ilmutatud kujul, et püsivate ja kinniste bimoodulite kategooriad üle idempotentsete ringide on ekvivalentsed. Lõpetuseks annan monomorfismide kirjelduse püsivate bimoodulite kategoorias üle idempotentsete ringide ja kasutan seda kirjeldust, et tõestada mingi antud püsiva bimooduli unitaarsete alam-bimoodulite võre ja tema kategoorsete alamobjektide võre isomorfsus.